La máquina estocástica

Procesos aleatorios, redes neuronales y modelos generativos para físicos

J. A. Chala Casanova

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Qué es este libro

Un texto para estudiantes de posgrado en física que quieren llegar a los modelos generativos modernos (difusión, flow matching) desde las herramientas que ya dominan: mecánica estadística, ecuaciones diferenciales estocásticas, teoría de la información.

La tesis central es que el aprendizaje automático moderno es física estadística en dimensión alta. La ecuación de Fokker-Planck que describe la distribución estacionaria del SGD es la misma que describe la distribución de neutrones en un sistema de fisión crítico. El score $\nabla\log p_t$ que guía la generación de imágenes es la misma cantidad que aparece en la condición de balance detallado. El puente de Schrödinger que unifica los modelos de difusión es el mismo problema variacional que Schrödinger formuló en 1931 pensando en partículas brownianas. No son analogías: son identidades matemáticas.

Estructura

El libro tiene 12 capítulos en tres arcos, 5 apéndices y un sistema de secciones opcionales ("Estrellas Polares") que aplican cada capítulo a sistemas físicos concretos.

Arco I — La red neuronal desde cero (Caps. 1–4)

Cap.	Título	Contenido central
1	El problema de aproximación de funciones	Familias paramétricas, ecuaciones normales, RBFs como puente a redes neuronales, fenómeno de Runge
2	Sobreajuste, regularización y la descomposición espectral	Sesgo-varianza, Tikhonov, SVD como modos normales del ajuste, filtro de Wiener
3	Geometría del espacio de parámetros	Gradiente, hessiano, índice de Morse, convexidad, saddle points en alta dimensión (GOE)
4	Redes neuronales: el aproximador universal	MLP, activaciones (sigmoide = Fermi-Dirac, ReLU), teorema universal, profundidad vs. anchura

Un ejemplo unificado del oscilador armónico recorre los cuatro capítulos como laboratorio práctico.

Arco II — Ruido, incertidumbre y estructura (Caps. 5–9)

Cap.	Título	Contenido central
5	SGD y la ecuación de Langevin	SGD como SDE de Langevin, Fokker-Planck del SGD, distribución de Gibbs, $T_{\text{eff}} = \eta c/2$
6	Backpropagation como método adjunto	Principio de Pontryagin, adjunto continuo, gradient checkpointing
7	Probabilidad, inferencia y el fundamento estadístico	MLE, MAP, ELBO, VAE, truco de reparametrización, cotas VC
8	El MLP en la práctica	Ciclo de entrenamiento, dropout, normalización, double descent (Marchenko-Pastur)
9	Arquitecturas especializadas	CNNs (Lema de Schur), GNNs (Weisfeiler-Leman), transformers, equivarianza SO(3) (Clebsch-Gordan), Neural ODEs

Arco III — Hacia los modelos generativos (Caps. 10–12)

Cap.	Título	Contenido central
10	Cálculo de Itô	Variación cuadrática, integral de Itô, fórmula de Itô, Feynman-Kac
11	De Fokker-Planck al score matching	FP por dualidad $L^2$, teorema de Anderson, DSM, puente de Schrödinger, transporte óptimo, flow matching
12	Modelos de difusión y flow matching	DDPM, score SDE, DDIM, rectified flow, OT flow matching, CFG, U-Net, DiT, latent diffusion

Apéndices

Ap.	Contenido
A	Probabilidad avanzada (filtración, esperanza condicional, martingalas)
B	Información y mecánica estadística (Shannon = Boltzmann, Gibbs, H-teorema, tabla de correspondencias ML–física)
C	Álgebra lineal (SVD, pseudoinversa, $L^2$ como Hilbert)
D	Algoritmos de implementación (Euler-Maruyama, Milstein, DSM loop, referencia NumPy/PyTorch/JAX)
E	Diccionario ML–física (glosario temático con análogos físicos)

Estrellas Polares

Secciones opcionales al final de cada capítulo que aplican los resultados a dos sistemas físicos: la cinética puntual estocástica de un reactor nuclear de investigación (Caps. 1–8) y la simulación de cascadas electromagnéticas en calorímetros de altas energías (Caps. 9–12). Pueden omitirse sin perder continuidad.

Público objetivo

Estudiante de posgrado en física (o de último año de licenciatura con motivación suficiente) que ha tomado cursos de mecánica clásica, electromagnetismo, mecánica cuántica, mecánica estadística y métodos matemáticos. Se asume familiaridad con EDOs/EDPs, álgebra lineal y cálculo multivariable. Se asume que sabe programar pero nunca ha implementado una red neuronal. No se asume conocimiento de física nuclear ni de altas energías.

Convenciones

• Escalares: itálica ($x, t, \lambda$). Vectores: negrita minúscula ($\bm{x}, \bm{\theta}$). Matrices: negrita mayúscula ($\bm{W}, \bm{H}$).
• Notación $f(\bm{x};\bm{\theta})$: punto y coma separa entradas de parámetros.
• Cada sección indica su nivel de exigencia en dos ejes: dificultad matemática y dificultad física (★ a ★★★★★).
• Anglicismos técnicos conservados en inglés (score matching, flow matching, dropout, batch normalization).
• Sistema de coloreo semántico de ecuaciones (3 ejes: rol sintáctico, estatus epistémico, tipo matemático). Desactivable con \eqcolorsfalse.

Compilación

Requiere una instalación completa de TeX Live o MiKTeX.

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# Manual
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Estructura del proyecto

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├── main.tex                     # Documento raíz
├── metadata.tex                 # Título, autor, metadatos PDF
├── references.bib               # Bibliografía centralizada
├── config/
│   ├── packages.tex             # Carga de paquetes (~30)
│   ├── geometry.tex             # Layout de página, headers/footers
│   ├── hyperref.tex             # Configuración de hipervínculos
│   ├── macros.tex               # Macros de matemáticas/física
│   ├── tcolorbox-config.tex     # Estilo base de cajas
│   ├── titles-config.tex        # Formato de capítulos/secciones
│   ├── listings-catppuccin.tex  # Listings de código (10 lenguajes)
│   ├── algorithms.tex           # Estilo de Algorithm2e
│   ├── tables-config.tex        # Tablas con overflow y colores
│   ├── equation-styles.tex      # Coloreo semántico de ecuaciones
│   ├── pgfplots-config.tex      # Estilos de gráficas
│   └── captions-config.tex      # Formato de captions
├── environments/
│   ├── generator.tex            # Fábrica de entornos
│   ├── instances.tex            # Entornos concretos
│   └── specials.tex             # Ejercicios, dificultad, notas bib
├── themes/
│   ├── catppuccin-palette.tex   # Tema principal (Latte/Frappé/Macchiato/Mocha)
│   ├── catppuccin-latte.tex     # Configuración alternativa
│   └── custom-theme.tex         # Fallback sin Catppuccin
├── frontmatter/
│   ├── titlepage.tex            # Página de título
│   ├── preliminary.tex          # Dedicatoria, epígrafe
│   └── preface.tex              # Prefacio
├── chapters/
│   ├── chapter1.tex             # Cap. 1: Aproximación de funciones
│   ├── chapter2.tex             # Cap. 2: Sobreajuste y regularización
│   ├── ...
│   └── chapter12.tex            # Cap. 12: Modelos de difusión
├── backmatter/
│   ├── appendixA.tex            # Probabilidad avanzada
│   ├── ...
│   └── appendixE.tex            # Diccionario ML–física
├── figs/                        # Figuras
└── code/                        # Código auxiliar

Entornos disponibles

Entorno	Color	Contador	Uso
definicion	Azul	✓	Definiciones formales
teorema	Malva	✓	Teoremas con demostración
proposicion	Verde	✓	Proposiciones y lemas
ejemplo	Durazno	✓	Ejemplos desarrollados
observacion	Gris	—	Comentarios y observaciones
fisicaconexion	Zafiro	—	Conexiones con la física
estrella	Amarillo	✓	Secciones de Estrella Polar
ejerciciocomp	Rosa	✓	Ejercicios computacionales
ejercicio	—	✓	Ejercicios teóricos (sin caja)
notasbib	Gris claro	—	Notas bibliográficas

Temas visuales

Basado en la paleta Catppuccin. Para cambiar de sabor:

% En themes/catppuccin-palette.tex
\usepackage[Latte,styleAll]{catppuccinpalette}    % claro (por defecto)
%\usepackage[Mocha,styleAll]{catppuccinpalette}   % oscuro

Para sabores oscuros (Frappé, Macchiato, Mocha), descomentar \darkthemetrue.

Estado del proyecto

Componente	Estado
Caps. 1–4 (Arco I)	v3 — reescritura completa con narrativa reforzada, ejemplo del oscilador, RBFs
Caps. 5–9 (Arco II)	v2 — estable
Caps. 10–12 (Arco III)	v2 — estable
Apéndices A–E	v2 — estable
Prefacio	v2 — estable
Plantilla LaTeX	Estable
Bibliografía	Actualizada (Caps. 1–4 v3)

Licencia

Plantilla LaTeX bajo licencia MIT. Contenido del libro © J. A. Chala Casanova. Paleta Catppuccin © contribuidores de Catppuccin.

Autor

J. A. Chala Casanova — GitHub · GitLab