[refactor] MOA-789 Header 컴포넌트 UI/비즈니스 로직 분리

### 🗓️ 마감일

2026-04-08

### 🙋 담당자(Assignee)

seongwon030

### 🎟️ 상위 스토리 (Story Key)

MOA-787

### 🌳 브랜치명 (Branch)

refactor/header-logic-separation

### 🧭 분기할 브랜치 선택

develop-fe

### 📝 상세 내용(Description)

_No response_

### ✅ 체크리스트(Tasks)

- [ ] Task1
- [ ] Task2
